Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+x+c經過點A（﹣1，0）和點C （0，3）與x軸的另一交點為點B，點M是直線BC上一動點，過點M作MP∥y軸，交拋物線于點P．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在一點Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當⊙M與坐標軸相切時，求出⊙M的半徑．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）不存在，理由見解析；（3）⊙M的半徑為或

【解析】

（1）已知拋物線y＝ax2+x+c經過點A(﹣1,0)和點C(0,3)，利用待定系數法即可求得拋物線解析式；

（2）在拋物線上找到一點Q，使得△QCO是等邊三角形，過點Q作OM⊥OB于點M，過點Q作QN⊥OC于點N，根據△QCO是等邊三角形，求得Q點坐標，再驗證Q點是否在拋物線上；

（3）分兩種情況①當⊙M與y軸相切，如圖所示，令M點橫坐標為t，PM=t，將PM用t表示出來，列出關于t的一元二次方程，求得t，進而求得半徑；②⊙M與x軸相切，過點M作MN⊥OB于N，如圖所示，令M點橫坐標為m，因為PN=2MN，列出關于m的一元二次方程，即可求出m，進而求得⊙M的半徑．

（1）∵拋物線y＝ax2+x+c經過點A(﹣1,0)和點C(0,3)

∴

解得

∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+3

故答案為：y＝﹣x2+x+3

（2）在拋物線上找到一點Q，使得△QCO是等邊三角形，過點Q作OM⊥OB于點M，過點Q作QN⊥OC于點N

∵△QCO是等邊三角形，OC=3

∴CN=

∴NQ=

即Q(,)

當x=時，y＝﹣×()2+×+3=≠

∴Q(,)不在拋物線上

y＝﹣x2+x+3

故答案為：不存在，理由見解析

（3）①⊙M與y軸相切，如圖所示

∵y＝﹣x2+x+3

當y=0時，﹣x2+x+3=0

解得x1=-1，x2=4

∴B(4,0)

令直線BC的解析式為y=kx+b

解得

∴直線BC的解析式為

令M點橫坐標為t

∵MP∥y軸，⊙M與y軸相切

∴t=﹣t2+t+3-

解得t=

⊙M的半徑為

②⊙M與x軸相切，過點M作MN⊥OB于N，如圖所示

令M點橫坐標為m

∵PN=2MN

∴

解得m=1或m=4（舍去）

∴⊙M的半徑為：

故答案為：⊙M的半徑為或