Question

【題目】如圖放置的兩個正方形，大正方形邊長為，小正方形邊長為()，在邊上，且，連接，，交于點，將繞點旋轉至，將繞點旋轉至，給出以下五個結論：①；②；③；④；⑤四點共圓，其中正確的序號為___________．

Answer 1

【答案】①③④⑤

【解析】

根據正方形的性質可得∠BAM+∠DAM=90°，∠NAD +∠AND=90°，然后根據旋轉的性質可得∠NAD=∠BAM，從而判斷①；證出∽，列出比例式即可判斷②；利用SAS即可證出③；先證出四邊形AMFN是正方形，然后根據勾股定理即可判斷④；證出∠AMP+∠ADP=180°，即可判斷⑤．

①∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，

∴∠BAM+∠DAM=90°，∠NAD +∠AND=90°，

∵將繞點A旋轉至，

∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，

∴∠DAM=∠AND，故①正確；

②∵四邊形CEFG是正方形，

∴PC∥EF，

∴∽，

∴，

∵大正方形ABCD邊長為a，小正方形CEFG邊長為b（a＞b），BM=b，

∴EF=b，CM=a﹣b，ME=（a﹣b）+b=a，

∴，

∴CP=；故②錯誤；

③∵將繞點F旋轉至，

∴GN=ME，

∵AB=a，ME=a，

∴AB=ME=NG，

在與中，

∵AB=NG=a，∠B=∠NGF=90°，GF=BM=b，

∴≌；故③正確；

④∵將繞點A旋轉至，

∴AM=AN，

∵將繞點F旋轉至，

∴NF=MF，

∵≌，

∴AM=NF，

∴四邊形AMFN是菱形，

∵∠BAM=∠NAD，

∴∠BAM+∠DAM=∠NAD+∠DAN=90°，

∴∠NAM=90°，

∴四邊形AMFN是正方形，

∵在Rt中，a2+b2=AM2，

∴S四邊形AMFN=AM2=a2+b2；故④正確；

⑤∵四邊形AMFN是正方形，

∴∠AMP=90°，

∵∠ADP=90°，

∴∠AMP+∠ADP=180°，

∴A，M，P，D四點共圓，故⑤正確．

綜上：正確的結論有①③④⑤．

故答案為：①③④⑤．