Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知圓心為P（x，y）的動圓經過點A（1，2），且與x軸相切于點B．

（1）當x＝0時，求⊙P的半徑；

（2）請直接寫出y與x之間的函數關系式，并求出y的最小值；

（3）在⊙P運動過程中，是否存在某一位置，使得⊙P與x軸、y軸都相切？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝（x﹣1）2+1，1；（3）存在，點P的坐標為（1，1）或（5，5）．

【解析】

（1）由⊙P與x軸相切且過點A（1，2），可得出y＞0，當x＝0時，利用兩點間的距離公式及半徑相等，可得出關于y的方程，解之即可得出y值，進而可得出⊙P的半徑；

（2）利用兩點間的距離公式及半徑相等，可得出y與x之間的函數關系式，再利用二次函數的性質可求出y的最小值；

（3）由（2）的結論結合x＝y，可得出關于x的方程，解之可得出x的值，進而可求出點P的坐標．

解：（1）∵⊙P與x軸相切，且過點A（1，2），

∴y＞0．

當x＝0時，PB＝PA，即y＝，

等式兩邊同時平方，得：y2＝1+（2﹣y）2，

整理，得：4y﹣5＝0，

解得：y＝，

∴當x＝0時，⊙P的半徑為．

（2）由題意得：y2＝（1﹣x）2+（2﹣y）2，

∴y＝x2﹣x+．

∵y＝x2﹣x+＝（x﹣1）2+1，

∵＞0，

∴當x＝1時，y取得最小值，最小值為1．

（3）∵⊙P與x軸、y軸均相切，且過點A（1，2），

∴x＝y＞0．

由（2），得：x＝x2﹣x+，

整理，得：x2﹣6x+5＝0，

解得：x1＝1，x2＝5，

∴y1＝1，y2＝5，

∴在⊙P運動過程中，存在某一位置，使得⊙P與x軸、y軸都相切，此時點P的坐標為（1，1）或（5，5）．