Question

【題目】如圖，直線l⊥線段AB于點B，點C在AB上，且AC=2CB，點M是直線l上的動點，作點B關于直線CM的對稱點B’，直線AB’與直線CM相較于點P，聯結PB.

(1)如圖1，若點P與點M重合，則∠PAB=_____°，線段PA與PB的比值為______.

(2)如圖2，若點P與點M不重合，設過P、B、C三點的圓與直線AP相交于點D，聯結CD.

①求證：CD=CB’.

②求證：PA=2PB.

(3)如圖③，AC=2，BC=1，則滿足條件PA=2PB的點都在一個確定的圓上，在以下兩小題中選做一題：

①如果你能發現這個確定圓的圓心和半徑，那么不必寫出發現過程，只要證明這個圓上的任意一點Q，都滿足QA=2QB.

②如果你不能發現這個確定圓的圓心和半徑，那么請取幾個特殊位置的P點，如點P在直線AB上，點P與點M重合等進行探究，求這個圓的半徑.

Answer 1

【答案】(1)30，2；(2)①證明見解析；②證明見解析；(3)①證明見解析；②半徑為2.

【解析】

（1）如圖2，根據對稱性質得△PBC沿PC翻折得到△PB′C，根據折疊性質得CB′=CB，∠PB′C=∠PBC=90°，由于AC：CB=2：1，則AC=2CB′，然后在Rt△AB′C中，利用正弦定義可計算出∠A=30°，再利用含30度的直角三角形三邊的關系易得PA=2PB；

（2）①與（1）一樣可得∠PB′C=∠PBC，再根據圓內接四邊形的性質得∠CDB′=∠CBP，所以∠CDB′=∠CB′D，于是根據等腰三角形的判定得到CD=CB′；

②作B′E∥PC交AC于E，連結BB′交PC于F，利用對稱性質得FB=FB′，PB=PB′，而CF∥B′E，則CF為△BEB′的中位線，所以BC=CE，加上AC=2BC，所以AE=EC，然后利用B′E∥PC，則AB′=PB′，所以PA=2PB′=2PB；

（3）選①進行證明，作B′E∥QC交AC于E，連結BB′交QC于F，與（2）中②的證明方法一樣

解：(1) ∴△PBC沿PC翻折得到△PB′C，

∴CB′=CB,∠PB′C=∠PBC=90，

∵AC:CB=2:1，

∴AC=2CB′，

在Rt△AB′C中,sin∠A==，

∴∠A=30°，

在Rt△PAB中，PA=2PB；

故答案為30°；2；

(2)證明：①沿PC翻折得到△PB′C，

∴∠PB′C=∠PBC，

∵∠CDB′=∠CBP，

∴∠CDB′=∠CB′D，

∴CD=CB′；

②令，則

∵AC=2CB

∴

∴PA=2PB’=2PB

(3)①如圖，連接BB’交OC于點G，過點B’作B’F∥QC交AO于點F

∵AC=2BC

∵B、B’關于直線QC對稱

∴F為AC的中點

∴BQ=B’Q

∵B’F∥QC

∵B’F∥QC

∴AQ=2B’Q

∴

∵BQ=B’Q

∴BC=CF

∴AQ=2BQ

②若點P在線段AB上，由PA=2PB知，點P與點C重合，點B與點B’重合，這個圓的半

徑為2.

若點P在射線AB的延長線上，由PA=2PB知，點B’與點B重合，這個圓的半徑為2.