Question

【題目】如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，且AC＝4．過點O作直徑DE⊥AC，垂足為點P，過點B的直線交AC的延長線和DE的延長線于點F、G．

（1）求線段AP、CB的長；

（2）若OG＝9，求證：FG是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）BC＝2；（2）見解析；

【解析】試題分析：

（1）由已知條件根據“垂徑定理”易得AP=CP=AC=，結合OA=3可得OP=1，結合AB是⊙O的直徑可得OP=BC，由此可得BC=2；

（2）由OG=9，OA=3，OB=3，OP=1，可得，結合∠BOG＝∠POA，可得△BOG∽△POA，從而可得∠GBO＝∠OPA＝90°，由此可得得到FG是⊙O的切線.

試題解析：

（1）∵DE是⊙O的直徑，且DE⊥AC，

∴AP＝PC＝AC=，

又∵OA＝3，

∴OP＝1

又AB是⊙O的直徑，

∴O為AB的中點，

∴OP＝BC，

∴BC＝2OP＝2．

（2）∵OG=9，OA=3，OB=3，OP=1，

∴，，

∴，

∠BOG＝∠POA，

∴△BOG∽△POA，

∴∠GBO＝∠OPA＝90°

又∵點B在⊙O上，

∴FG是⊙O的切線.