Question

13．閱讀下列材料，并解決相關的問題．
按照一定順序排列著的一列數稱為數列，排在第一位的數稱為第1項，記為a₁，依此類推，排在第n位的數稱為第n項，記為a_n．
一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：數列1，2，4，8，…為等比數列，其中a₁=1，公比為q=2．
則：（1）等比數列3，6，12，…的公比q為2，第6項是96．
（2）如果一個數列a₁，a₂，a₃，a₄，…是等比數列，且公比為q，那么根據定義可得到：$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=q，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=q，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=q，…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=q．
所以：a₂=a₁•q，a₃=a₂•q=（a₁•q）•q=a₁•q²，a₄=a₃•q=（a₁•q²）•q=a₁•q³，…
由此可得：a_n=a₁•q^n-1（用a₁和q的代數式表示）．
（3）對等比數列1，2，4，…，2^n-1求和，可采用如下方法進行：
設S=1+2+4+…+2^n-1     ①，
則2S=2+4+…+2ⁿ        ②，
②-①得：S=2ⁿ-1
利用上述方法計算：1+3+9+…+3ⁿ．

Answer 1

分析 （1）由第二項除以第一項求出公比q的值，確定出第6項即可；
（2）根據題中的定義歸納總結得到通項公式即可；
（3）類比給出的方法求得答案即可．

解答 解：（1）q=$\frac{6}{3}$=2，第6項是3×2⁵=96；
（2）歸納總結得：a_n=a₁•q^n-1；
（3）設S=1+3+9+…+3ⁿ①，
則3S=3+9+…+3ⁿ⁺¹②，
②-①得：2S=3ⁿ⁺¹-1
S=$\frac{{3}^{n+1}-1}{2}$．

點評 此題考查數字的變化規律，理解題意，理清數字之間的運算規律，利用運算規律解決問題．