Question

【題目】圖示為一座拱橋，當水面寬AB為12m時，橋洞頂部離水面的距離為2m．

(1)若圖中的拱形呈拋物線形狀，當水面下降1m后，水面寬為多少？

(2)若圖中的拱形呈圓弧形狀，當水面下降1m后，水面寬又為多少？

Answer 1

【答案】（1）m；（2）當水面下降1m后，水面寬為m

【解析】

（1）先建立直角坐標系，求出函數解析式，計算當y=-1時的橫坐標即可得到答案；

（2）設弧AB的圓心為O，過點O作AB的垂線，交弧于點D，垂足為點C，連接OB，設圓的半徑為x m，根據勾股定理列方程求出半徑，設水位下降1m后的水面寬為EF，交OD于點M，根據勾股定理即可求出答案.

（1）以AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，則點B（6，0），A（-6，0），

∵（0，2）在拋物線上，

∴設其拋物線為：y=ax2+2，

把（6，0）代入得：

0=a×62+2，

∴，

∴拋物線為：

當y=-1時，

有，

解得 ，

∴此時水面的寬為： （m）；

（2）如圖，設弧AB的圓心為O，過點O作AB的垂線，交弧于點D，垂足為點C，連接OB，

則CD=2，BC=6．

設圓的半徑為x m，

則OC=(x-2)m

由勾股定理得：(x-2)2+62=x2

解得：x=10

設水位下降1m后的水面寬為EF，交OD于點M，則OM=10-3=7(m)，

連接OF，由勾股定理得：

m．

∴當水面下降1m后，水面寬為m.