Question

【題目】已知，拋物線y=ax2+c過點（-2，2）和點（4，5），點F（0，2）是y 軸上的定點，點B是拋物線上除頂點外的任意一點，直線l：y=kx+b經(jīng)過點B、F且交x軸于點A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）①如圖1，過點B作BC⊥x軸于點C，連接FC，求證：FC平分∠BFO；

②當k= 時，點F是線段AB的中點；

（3）如圖2， M（3，6）是拋物線內(nèi)部一點，在拋物線上是否存在點B，使△MBF的周長最小？若存在，求出這個最小值及直線l的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②；（3）存在點B，使△MBF的周長最小．△MBF周長的最小值為11，直線l的解析式為．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法將已知兩點的坐標代入拋物線解析式即可解答.

（2）①由于BC∥y軸，容易看出∠OFC＝∠BCF，想證明∠BFC＝∠OFC，可轉化為求證∠BFC＝∠BCF，根據(jù)“等邊對等角”，也就是求證BC＝BF，可作BD⊥y軸于點D，設B（m，），通過勾股定理用表示出的長度，與相等，即可證明.

②用表示出點的坐標，運用勾股定理表示出的長度，令，解關于的一元二次方程即可.

（3）求折線或者三角形周長的最小值問題往往需要將某些線段代換轉化到一條直線上，再通過“兩點之間線段最短”或者“垂線段最短”等定理尋找最值.本題可過點M作MN⊥x軸于點N，交拋物線于點B1，過點B作BE⊥x軸于點E，連接B1F，通過第（2）問的結論

將△MBF的邊轉化為，可以發(fā)現(xiàn)，當點運動到位置時，△MBF周長取得最小值，根據(jù)求平面直角坐標系里任意兩點之間的距離的方法代入點與的坐標求出的長度，再加上即是△MBF周長的最小值；將點的橫坐標代入二次函數(shù)求出，再聯(lián)立與的坐標求出的解析式即可.

（1）解：將點（-2，2）和（4，5）分別代入，得：

解得：

∴拋物線的解析式為：．

（2）①證明：過點B作BD⊥y軸于點D，

設B（m，），

∵BC⊥x軸，BD⊥y軸，F（0，2）

∴BC＝，

BD＝|m|，DF＝

∴BC＝BF

∴∠BFC＝∠BCF

又BC∥y軸，∴∠OFC＝∠BCF

∴∠BFC＝∠OFC

∴FC平分∠BFO ．

②

(說明：寫一個給1分）

（3）存在點B，使△MBF的周長最小.

過點M作MN⊥x軸于點N，交拋物線于點B1，過點B作BE⊥x軸于點E，連接B1F

由（2）知B1F＝B1N，BF＝BE

∴△MB1F的周長＝MF+MB1+B1F＝MF+MB1+B1N＝MF+MN

△MBF的周長＝MF+MB+BF＝MF+MB+BE

根據(jù)垂線段最短可知：MN＜MB+BE

∴當點B在點B1處時，△MBF的周長最小

∵M（3，6），F（0，2）

∴，MN＝6

∴△MBF周長的最小值＝MF+MN＝5+6＝11

將x＝3代入，得：

∴B1（3，）

將F（0，2）和B1（3，）代入y=kx+b，得：

，

解得：

∴此時直線l的解析式為：．