Question

【題目】如圖，半圓O的直徑AC=2，點B為半圓的中點，點D在弦AB上，連結CD，作BF⊥CD于點E，交AC于點F，連結DF，當△BCE和△DEF相似時，BD的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

分兩種情形討論：①當∠DFE=∠BCE時，可以證明DB=DC，BC=CF，∠DFC=∠DBC=90°即可解決問題．②當∠FDE=∠BCE時，可以證明DF∥BC、△BDF∽△CBD得到 ＝ 列出方程解決問題．

解：

①如圖1，當∠DFE=∠BCE時，
∵∠DEF=∠BEC，
∴△DEF∽△BEC，
∵AC是直徑，
∴∠ABC=90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠DBE+∠EBC=90°，
∴∠DBE=∠BCE=∠DFE，
∴DB=DF，
∵DE⊥BF，
∴EB=EF，
∴BC=CF，
∵點B為半圓的中點，
∴AB=BC，
∴∠A=45°，
∵∠DBF=∠DFB，∠CBF=∠CFB，∠DBF+∠CBF=90°，
∴∠DFB+∠CFB=90°，
∴∠DFC=∠DFA=90°，
∴∠A=∠ADF=45°，
∴AF=DF=BD，
在RT△ABC中，∵AC=2 ，
∴AB=BC=AC=2，
∴FC=2，
∴BD=AF=AC-FC=2-2，
②如圖2，

當∠FDE=∠BCE時，
∵∠DEF=∠BEC，
∴△DEF∽△CEB，DF∥BC，
∴∠ADF=∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠BEC=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠DBE+∠EBC=90°，
∴∠DBE=∠BCE=∠FDE，
∵∠BDF=∠DBC=90°，∠DBF=∠BCD，
∴△BDF∽△CBD，
∴ ＝，
∵∠A=45°，∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠A=45°，
∴AD=DF，
設BD=x，由（1）可知：AB=BC=2，AD=DF=2-x，
∴ ＝ ，整理得：x2+2x-4=0，
解得：x= -1+ （或-1-舍棄）
∴BD=-1．
故答案為2-2或-1．