Question

【題目】如圖1，已知AB⊥CD，C是AB上一動點，AB＝CD

（1）在圖1中，將BD繞點B逆時針方向旋轉90°到BE，若連接DE，則△DBE為等腰直角三角形；若連接AE，試判斷AE與BC的數量和位置關系并證明；

（2）如圖2，F是CD延長線上一點，且DF＝BC，直線AF，BD相交于點G，∠AGB的度數是一個固定值嗎？若是，請求出它的度數；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AE＝BC，AE⊥BC，證明見解析；（2）∠AGB的度數是固定值，度數為45°．

【解析】

（1）結論：AE＝BC，AE⊥BC．根據角的和差關系可得∠ABE=∠BDC，利用SAS證明△ABE≌△BDC，再利用全等三角形的性質得出AE＝BC，∠BAE＝∠BCD＝90°，即可解決問題；

（2）如圖，作AE⊥AB于A，使AE＝BC，連結DE，BE．利用SAS可證明△ABE≌△BDC，再利用全等三角形的性質得出BE＝BD，∠EBD＝90°，可得出∠EDB＝∠AGB＝45°．即可得答案．

（1）結論：AE＝BC，AE⊥BC．理由如下：

∵AB⊥CD，將BD繞點B逆時針方向旋轉90°到BE，

∴∠BCD＝∠EBD＝90°，

∴∠ABE+∠DBC＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，

∴∠ABE＝∠BDC，

在△ABE和△CDB中，，

∴△ABE≌△CDB（SAS），

∴AE＝BC，∠BAE＝∠BCD＝90°，

∴AE⊥BC，

∴AE與BC的數量和位置關系是AE＝BC，AE⊥BC．

（2）∠AGB的度數是固定值，∠AGB＝45°．理由如下：

如圖，作AE⊥AB于A，使AE＝BC，連結DE，BE．

∵AE⊥AB，∠BCD＝90°，

∴∠BAE＝∠BCD=90°，

在Rt△BAE和Rt△DCB中，，

∴△BAE≌△DCB（SAS），

∴BE＝BD，∠ABE＝∠BDC，

∵∠BDC+∠DBC＝90°，

∴∠ABE+∠DBC＝90°，

∴∠EBD＝90°，

∴△BED是等腰直角三角形，

∴∠EDB＝45°

∵∠BAE=∠ACD=90°，

∴AE∥DF，

∵AE=BC，BC=DF，

∴AE=DF，

∴四邊形AFDE是平行四邊形，

∴AF∥DE

∴∠AGB＝∠EDB＝45°．

∴∠AGB的度數是固定值，∠AGB＝45°．