Question

【題目】如圖，已知以AB為直徑的圓中，∠ACB＝∠ABD＝90°，∠D＝60°，∠ABC＝45°.

(1)求證：EC平分∠AEB；

(2)求的值．

Answer 1

【答案】(1)見詳解；(2).

【解析】

由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根據(jù)圓周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代換得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；
（2）方法1、設(shè)AB與CE交于點(diǎn)M．根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出=．易求∠BAD=30°，由直徑所對的圓周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE= BE，那么== ．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．證明△AFM∽△BGM，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 = =，進(jìn)而求出 = == ．
方法2、易求∠BAD=30°，由直徑所對的圓周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE= BE，那么 == ，再用角平分線定理判斷出CP=CQ，即可得出結(jié)論．

（1）證明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，
∴∠AEC=∠BEC，
即EC平分∠AEB；

（2）解：如圖，設(shè)AB與CE交于點(diǎn)M．
∵EC平分∠AEB，
∴ =．
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，
∴∠BAD=30°，
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)E，
∴∠AEB=90°，
∴tan∠BAE= =，
∴AE=BE，
∴ == ．
作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．
在△AFM與△BGM中，
∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，
∴△AFM∽△BGM，
∴ = = ，
∴ = ==．

方法2、如圖1，
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，
∴∠BAD=30°，
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)E，
∴∠AEB=90°，
∴tan∠BAE= =，
∴ AE= BE，
過點(diǎn)C作CP⊥AE于P，過點(diǎn)C作CQ⊥EB交延長線于Q，
由（1）知，EC是∠AEB的角平分線，
∴CP=CQ，
∴ = = =