Question

【題目】如圖1，點C為線段AB上任意一點（不與點A、B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，連接AE交CD于點M，連接BD交CE于點N，AE與BD交于點P，連接CP．

（1）線段AE與DB的數量關系為　 ；請直接寫出∠APD＝　 ；

（2）將△BCE繞點C旋轉到如圖2所示的位置，其他條件不變，探究線段AE與DB的數量關系，并說明理由；求出此時∠APD的度數；

（3）在（2）的條件下求證：∠APC＝∠BPC．

Answer 1

【答案】（1）AE＝BD，30°；（2）結論：AE＝BD，∠APD＝30°．理由見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）只要證明△ACE≌△DCB，即可解決問題；
（2）只要證明△ACE≌△DCB，即可解決問題；
（3）如圖2-1中，分別過C作CH⊥AE，垂足為H，過點C作CG⊥BD，垂足為G，利用面積法證明CG=CH，再利用角平分線的判定定理證明∠DPC=∠EPC即可解決問題；

（1）解：如圖1中，

∵∠ACD＝∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，

∴∠ACE＝∠DCB，

又∵CA＝CD，CE＝CB，

∴△ACE≌△DCB．

∴AE＝BD，∴CAE＝∠CDB，

∵∠AMC＝∠DMP，

∴∠APD＝∠ACD＝30°，

故答案為AE＝BD，30°

（2）如圖2中，結論：AE＝BD，∠APD＝30°．

理由：∵∠ACD＝∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，

∴∠ACE＝∠DCB，

又∵CA＝CD，CE＝CB，

∴△ACE≌△DCB．

∴AE＝BD，∴CAE＝∠CDB，

∵∠AMP＝∠DMC，

∴∠APD＝∠ACD＝30°．

（3）如圖2﹣1中，分別過C作CH⊥AE，垂足為H，過點C作CG⊥BD，垂足為G，

∵△ACE≌△DCB．

∴AE＝BD，

∵S△ACE＝S△DCB

∴CH＝CG，

∴∠DPC＝∠EPC

∵∠APD＝∠BPE，

∴∠APC＝∠BPC．