Question

6．如圖，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，AD∥BC，點E在邊AC上，且∠DEB=90°，DH⊥AC于H．
（1）求證：CE-AE=2DH；
（2）若DH=2，AC=8，求四邊形BCHD的面積．

Answer 1

分析 （1）證明：如圖，作BM⊥AC于M，AB與DE交于點O．首先證明△DAO∽△BEO，推出$\frac{OA}{OE}$=$\frac{OD}{OB}$，即$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OE}{OB}$，于∠AOE=∠DOB，推出△AOE∽△DOB，∠ODB=∠BAC=45°，DE=BE，由△DEH≌△EBM，推出DH=EM，再根據CE=AE=（CM+EM）-（AM-EM）=2EM=2DH．即可解決問題．
（2）根據S_{四邊形BCHD}=S_△ADH+S_△ABC+S_△ABC計算即可．

解答 （1）證明：如圖，作BM⊥AC于M，AB與DE交于點O．

∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∵∠AOD=∠EOB，∠DAO=∠OEB=90°，
∴△DAO∽△BEO，
∴$\frac{OA}{OE}$=$\frac{OD}{OB}$，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OE}{OB}$，∵∠AOE=∠DOB，
∴△AOE∽△DOB，
∴∠ODB=∠BAC=45°．
∵∠DEB=90°，
∴∠EDB=∠EBD=45°，
∴DE=BE，
∵∠DEH+∠BEM=90°，∠BEM+∠EBM=90°，
∴∠DEH=∠EBM
∵∠H=∠BME=90°，
∴△DEH≌△EBM，
∴DH=EM，
∵BA=BC，BM⊥AC，
∴AM=CM，
∴CE=AE=（CM+EM）-（AM-EM）=2EM=2DH．

（2）解：由（1）可知，△ADH，△ABC是等腰直角三角形，
∵DH=AH=2，
∴AD=$\sqrt{2}$DH=2$\sqrt{2}$，
∵AC=8，
∴AB=BC=4$\sqrt{2}$，
∴S_{四邊形BCHD}=S_△ADH+S_△ABC+S_△ABC=$\frac{1}{2}$（2×2+2$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$+4$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$）=26．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質．等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．