Question

11．如圖，已知在?ABCD中，AE⊥BC于點E，以點B為中心，取旋轉角等于∠ABC，把△BAE順時針旋轉，得到△BA′E′，連接DA′．若∠ADC=60°，AD=5，DC=4   則DA′的大小為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{21}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 過A′作A′F⊥DA于點F，由旋轉的性質可得求得A′B，在Rt△ABE中可求得BE，則可求得A′E，則可求得DF和A′F，在Rt△A′FD中由勾股定理可求得A′D．

解答 解：
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD=4，∠ABC=∠ADC=60°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=2，AE=A′F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∵取旋轉角等于∠ABC，把△BAE順時針旋轉，得到△BA′E′，
∴A′B在線段BC上，且A′B=AB=4，
∴A′E=A′B-BE=4-2=2，
∴AF=A′E=2，
∴DF=DA-AF=5-2=3，
在Rt△A′FD中，由勾股定理可得A′D=$\sqrt{A′{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{21}$，

點評 本題主要考查旋轉的性質及勾股定理的應用，構造直角三角形是解題的關鍵．