Question

如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90⁰，∠B=∠E=30⁰.

（1）操作發現如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉。當點D恰好落在BC邊上時，填空：線段DE與AC的位置關系是     ；
②設△BDC的面積為S₁，△AEC的面積為S₂。則S₁與S₂的數量關系是     。
（2）猜想論證
當△DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S₁與S₂的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC，CE邊上的高，請你證明小明的猜想。
（3）拓展探究
已知∠ABC=60⁰，點D是其角平分線上一點，BD=CD=4，OE∥AB交BC于點E（如圖4），若在射線BA上存在點F，使S_△DCF =S_△BDC,請直接寫出相應的BF的長

Answer 1

解：（1）①DE∥AC。②。
（2）仍然成立，證明如下：
∵∠DCE=∠ACB=90⁰，∴∠DCM＋∠ACE=180⁰。
又∵∠ACN＋∠ACE=180⁰，∴∠ACN =∠DCM 。
又∵∠CAN=CMD==90⁰，AC=CD，∴△ANC≌△DMC（AAS）。∴AN=DM。
又∵CE=CB，∴。
（3）或。

（1）①由旋轉可知：AC=DC，
∵∠C=90⁰，∠B=∠DCE=30⁰，∴∠DAC=∠CDE=60⁰。∴△ADC是等邊三角形。
∴∠DCA=60⁰。∴∠DCA=∠CDE=60⁰。∴DE∥AC。
②過D作DN⊥AC交AC于點N，過E作EM⊥AC交AC延長線于M，過C作CF⊥AB交AB于點F。

由①可知：△ADC是等邊三角形, DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM。
∴CF=EM。
∵∠C=90⁰，∠B =30⁰，∴AB=2AC。
又∵AD=AC，∴BD=AC。
∵，∴。
（2）通過AAS證明△ANC≌△DMC，即可得AN=DM，從而由CE=CB得到。
（3）如圖所示，作DF₁∥BC交BA于點F₁，作DF₂⊥BD交BA于點F₂。F₁，F₂即為所求。
按照（1）（2）求解的方法可以計算出，。