Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，點D為中點，過點D作DE⊥直線AC，垂足為E，交AB的延長線于點F

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若EF＝4，sin∠F＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）如圖（見解析），連接BC，OD，先根據圓周角定理得到，再根據平行線的判定可得，然后根據垂徑定理可得，從而根據平行線的性質可得，最后根據圓的切線的判定即可得證；

（2）先解直角三角形得到，再根據平行線的判定得出，然后根據相似三角形的判定與性質即可得．

（1）如圖，連接BC，OD

∵AB是⊙O的直徑

∴

又∵

∴

∵點D為中點

∴

∴

又∵OD是⊙O的半徑

∴EF是⊙O的切線；

（2）在中，

設，則

由勾股定理得：，解得

∴

∴

設⊙O的半徑為，則

∴

解得

故⊙O的半徑為．