Question

【題目】如圖1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，M為BC邊上的一個動點（不與點B，C重合），連接AM，以點A為中心，將線段AM逆時針旋轉135°，得到線段AN，連接BN．

（1）依題意補全圖2；

（2）求證：∠BAN＝∠AMB；

（3）點P在線段BC的延長線上，點M關于點P的對稱點為Q，寫出一個PC的值，使得對于任意的點M，總有AQ＝BN，并證明．

Answer 1

【答案】（1）圖見解析；（2）證明見解析；（3），證明見解析．

【解析】

（1）根據旋轉圖形、線段的畫法作圖即可；

（2）先證明，再由三角形內角和求得∠AMB與∠BAM的數量關系，再利用角的和差也可求得∠BAN與∠BAM的關系，進而得結論；

（3）如圖2，任取滿足條件的點M，作點M關于點C的對稱點，連接，先根據對稱性和旋轉的性質可知，，再根據等腰三角形的性質可得，從而可得，又根據線段的和差、對稱性得出，要總有，只需恒成立，然后根據三角形全等的判定定理與性質即可得．

（1）由旋轉圖形、線段的畫法作圖如下：

（2）∵

∴

∵，即

∴

由旋轉的定義可知，

∴

∴；

（3）∵

∴

如圖2，任取滿足條件的點M，作點M關于點C的對稱點，連接

由對稱性和旋轉的性質可知，

∴

∴

∵點M關于點P的對稱點為Q

∴

∴

要總有，只需恒成立

由定理可知，當時，可證出

解得

因此，當時，必有，由定理可證，此時，對于任意的點M，總有．