Question

【題目】如圖所示，AB是⊙O的直徑，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB的平分線交⊙O于D，連AD．

（1）求直徑AB的長．

（2）求陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）3π﹣6；

【解析】

（1）根據直徑所對的圓周角是直角推知∠ACB=90°，然后在直角三角形ABC中利用邊角關系、勾股定理來求直徑AB的長度；

（2）連接OD．利用（1）中求得AB=4可以推知OA=OD=2；然后由角平分線的性質求得∠AOD=90°；最后由扇形的面積公式、三角形的面積公式可以求得陰影部分的面積=S扇形△AOD-S△AOD．

（1）∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠B=30°，

∴AB=2AC，

∵AB2=AC2+BC2，

∴AB2=AB2+62，

∴AB=4．

（2）連接OD．

∵AB=4，

∴OA=OD=2，

∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，

∴∠ACD=45°，

∴∠AOD=2∠ACD=90°，

∴S△AOD=OAOD=×2×2=6，

∴S扇形△AOD=πOD2=π（2）2=3π，

∴陰影部分的面積=S扇形△AOD-S△AOD=3π-6．