Question

【題目】如圖，射線PA切⊙O于點A，連接PO．

（1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規在原圖中作，保留痕跡，不寫作法），并證明PC是⊙O的切線；

（2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點B，AB=AP=4，求的長．

Answer 1

【答案】（1）作圖見試題解析，證明見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）按照作一個角等于已知角的作圖方法作圖即可，連接OA，作OB⊥PC，由角平分線的性質證明OA=OB即可證明PC是⊙O的切線；

（2）先證明△PAB是等邊三角形，則∠APB=60°，進而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧長公式計算即可．

試題解析：（1）作圖如右圖，連接OA，過O作OB⊥PC，∵PA切⊙O于點A，∴OA⊥PA，又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，∴OA=OB，即d=r，∴PC是⊙O的切線；

（2）∵PA、PC是⊙O的切線，∴PA=PB，又∵AB=AP=4，∴△PAB是等邊三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt△AOP中，tan60°=，∴OA=，∴=．