Question

20．如圖①，把一張長方形紙板擺放在坐標系中，已知AB=8，AC=17．
（1）求點D坐標．
（2）折三角形紙板ADC，使邊CD落在邊AC上，設折痕交AD邊于點E（圖②），求點E坐標．
（3）將三角形紙板ADC沿AC邊翻折，翻折后記為△AMC，設AM與BC交于點N，請在圖③中畫出圖形，并求出點N坐標．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理計算出OD，從而得到D點坐標；
（2）設OE=t，則DE=15-t，由折疊的性質可計算出OD=9，則利用勾股定理得到9²+（15-t）²=t²，然后解方程求出t即可得到E點坐標；
（3）如圖③，過點D關于AC的對稱點M即可得到△AMC，先利用折疊性質得CD=CN，∠AMC=∠ADC=90°，再證明AN=CN，設BN=m，則CN=AN=15-m，利用勾股定理得到8²+m²=（15-m）²，然后解方程求出m即可得到N點坐標．

解答 解：（1）在RtADC中，∵AD=$\sqrt{1{7}^{2}-{8}^{2}}$=15，
∴D（0，15）；
（2）設OE=t，則DE=15-t，
∵折三角形紙板ADC，使邊CD落在邊AC上，如圖②，
∴OD=17-8=9，
在RtOED中，9²+（15-t）²=t²，解得t=$\frac{51}{5}$，
∴E（0，$\frac{51}{5}$）；
（3）如圖③，△AMC為所作，

∵三角形紙板ADC沿AC邊翻折，翻折后記為△AMC，
∴CD=CN，∠AMC=∠ADC=90°，
在△ABN和△CMN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANB=∠CNM}\\{∠ABN=∠CMN}\\{AB=CM}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△CMN，
∴AN=CN，
設BN=m，則CN=AN=15-m，
在Rt△ABN中，8²+m²=（15-m）²，解得m=$\frac{161}{30}$，
∴N（8，$\frac{161}{30}$）．

點評 本題考查了作圖-對稱軸變換：在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點開始的，一般的方法是：由已知點出發向所給直線作垂線，并確定垂足；直線的另一側，以垂足為一端點，作一條線段使之等于已知點和垂足之間的線段的長，得到線段的另一端點，即為對稱點；連接這些對稱點，就得到原圖形的軸對稱圖形．也考查了對稱軸的性質和勾股定理．