Question

如圖， 等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30º．點M、N同時以相同速度分別從點A、點D開始在AB、AD（包括端點）上運動．
（1）設ND的長為x，用x表示出點N到AB的距離，并寫出x的取值范圍．
（2）當五邊形BCDNM面積最小時，請判斷△AMN的形狀．

Answer 1

解：（1）過點N作BA的垂線NP，交BA的延長線于點P．  

由已知，AM＝x，AN＝20－x．
∵　四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D＝∠C＝30º，
∴　∠PAN＝∠D＝30º．
在Rt△APN中，PN＝（20－x），
即點N到AB的距離為（20－x）．        
∵　點N在AD上，0≤x≤20，點M在AB上，0≤x≤15，
∴　x的取值范圍是　0≤x≤15．              
（2）根據（1），S_△AMN＝AM•NP＝x（20－x）＝=－(x-10)+25．  
∴　當x＝10時，S_△AMN有最大值．
又∵　S_{五邊形BCDNM}＝S_梯形－S_△AMN，且S_梯形為定值，
∴　當x＝10時，S_{五邊形BCDNM}有最小值．  
當x＝10時，即ND＝AM＝10，AN＝AD－ND＝10，即AM＝AN．
則當五邊形BCDNM面積最小時，△AMN為等腰三角形． 

（1）過點N作BA的垂線NP，交BA的延長線于點P．根據直角三角形30º的角所對的直角邊等于斜邊的一半可表示出PN即為點N到AB的距離，由點M、N的位置即可得到x的取值范圍；
（2）先用含x的代數式表示出△AMN的面積，根據函數解析式的特征可得△AMN的面積最大值時的情況，此時五邊形BCDNM面積最小。