Question

△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，(1)要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法(如圖1)，比較甲．乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積大？請說明理由。

(2)圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得正方形面積為；按照甲種剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為(如圖2)，則；再在余下的四個三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形面積和為，繼續操作下去……，則第10次剪取時，；
(3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和。

Answer 1

（1）甲種剪法所得的正方形面積更大，理由見解析(2)，(3)

（1）解法1：如圖甲，由題意，得AE=DE=EC，即EC=1，S_{正方形CFDE}=1²=1
如圖乙，設MN=x，則由題意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x，
∴，
解得
∴
又∵
∴甲種剪法所得的正方形面積更大．
說明：圖甲可另解為：由題意得點D、E、F分別為AB、AC、BC的中點，S_{正方形OFDE}=1．
解法2：如圖甲，由題意得AE=DE=EC，即EC=1，
如圖乙，設MN=x，則由題意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x，
則，
解得，
又∵，即EC＞MN．
∴甲種剪法所得的正方形面積更大．
（2），．
（3）解法1：探索規律可知：
剩余三角形面積和為2﹣（S₁+S₂+…+S₁₀）=2﹣（1++…+）=
解法2：由題意可知，
第一次剪取后剩余三角形面積和為2﹣S₁=1=S₁
第二次剪取后剩余三角形面積和為，
第三次剪取后剩余三角形面積和為，
…
第十次剪取后剩余三角形面積和為．
（1）分別求出甲、乙兩種剪法所得的正方形面積，進行比較即可；
（2）按圖1中甲種剪法，可知后一個三角形的面積是前一個三角形的面積的，依此可知結果；
（3）探索規律可知：，依此規律可得第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和．