Question

（11·珠海）（本題滿分9分）已知：如圖，銳角△ABC內接于⊙O，∠ABC＝45°；
點D是上一點，過點D的切線DE交AC的延長線于點E，且DE∥BC；連結AD、BD、
BE，AD的垂線AF與DC的延長線交于點F．
（1）求證：△ABD∽△ADE；
（2）記△DAF、△BAE的面積分別為S_△DAF、S_△BAE，求證：S_△DAF＞S_△BAE．

Answer 1

證明：（1）連結OD．                              ……………………1分

∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE．
又∵DE∥BC，
∴OD⊥BC．
∴＝．                                    ……………………2分
∴∠BAD＝∠EAD．
∵∠BDA＝∠BCA，DE∥BC，
∴∠BDA＝∠DEA．
∴∠BAD＝∠EAD，
∴△ABD∽△ADE．                              ……………………5分
（2）由（1）得＝，即AD²＝AB·AE              ……………………6分
設在△ABE中，AE邊上的高為h，則：
∴S_△ABE＝h·AE，且h＜AB．
由∠ABC＝45°，AD⊥AF可推得△ADF為等腰直角三角形
∴S_△DAF＝AD²．                                ……………………8分
∴S_△DAF＝S_△BAE
∴△DAF＞△BAE．                      

略