Question

7．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F，且BE=CF．求證：
（1）AD是△ABC的角平分線；
（2）AE=AF．

Answer 1

分析 （1）根據HL可證Rt△BED≌Rt△CFD，根據全等三角形的性質可得DE=DF，再根據角平分線的判定即可求解；
（2）根據全等三角形的性質可得∠B=∠C，根據等角對等邊可得AB=AC，再根據線段的和差求解即可．

解答 證明：（1）∵D是BC的中點，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED與Rt△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∴AD是△ABC的角平分線；
（2）∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵BE=CF，
∴AE=AF．

點評 本題主要考查學生對角平分線的判定，全等三角形的判定與性質等知識點的靈活運用，關鍵是證明Rt△BED≌Rt△CFD．