Question

（12分）如圖，面積為8的矩形ABOC的邊OB、OC分別在軸、軸的正半
軸上，點A在雙曲線的圖象上，且AC=2．
（1）求值；
（2）將矩形ABOC以B旋轉中心，順時針旋轉90°后得到矩形FBDE，雙曲線交DE于M點，交EF于N點，求△MEN的面積．
(3)在雙曲線上是否存在一點P，使得直線PN與直線BC平行？若存在，請求出P點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABOC的面積為8，且AC=2
∴AB=4…………………………………………………1分
∵點A在第一象限
∴A（2，4）……………………………………………2分
∵頂點A在雙曲線的圖象上，
將A點代入雙曲線函數中，得：即；…………3分
（2）∵矩形ABOC以B為旋轉中心，順時針旋轉90°后得到矩形BDEF
∴點N、E縱坐標為2，點M、E橫坐標為6………4分
∴將代入中，得，……………………5分
將代入中，則………………………6分
∴M（6，），E（6，2），N（4，2），
∴EM=，EN= 2…………………………………………7分
∴．………………………………8分
（3）設直線BC的表達式為（），
∵B（2，0）、C(0,4)
∴ 得
∴直線BC的表達式為………………………………9分
若直線，則可設直線PN為
把N（4，2）代入，得
∴直線PN為……………………………………………10分
由 …………………………………………………11分
得  
∴P點的坐標為（1，8）……………………………………………12分

略