Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為A（3，0），與y軸的交點為B（0，3），其頂點為C，對稱軸為x=1．

（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點M為y軸上的一個動點，當△ABM為等腰三角形時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得：

，

解該方程組得：a=﹣1，b=2，c=3，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3

（2）解：由題意得：OA=3，OB=3；

由勾股定理得：AB2=32+32，

∴AB=3 ．

當△ABM為等腰三角形時，

①若AB為底，

∵OA=OB，

∴此時點O即為所求的點M，

故點M的坐標為M（0，0）；

②若AB為腰，

以點B為圓心，以3 長為半徑畫弧，交y軸于兩點，

此時兩點坐標為M（0，3﹣3 ）或M（0，3+3 ），

以點A為圓心，以3 長為半徑畫弧，交y軸于點（0，﹣3）；

綜上所述，當△ABM為等腰三角形時，點M的坐標分別為

（0，0）、（0，3﹣3 ）、（0，3 +3）、（0，﹣3）．

【解析】（1）直接根據題意列出關于a、b、c的方程組，解方程組即可解決問題．（2）運用分類討論的數學思想，根據等腰三角形的定義，分類討論，數形結合，即可解決問題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用拋物線與坐標軸的交點的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．