Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+1分別與兩坐標軸交于B，A兩點，C為該直線上的一動點，以每秒1個單位長度的速度從點A開始沿直線BA向上移動，作等邊△CDE，點D和點E都在x軸上，以點C為頂點的拋物線y=a（x﹣m）²+n經過點E．⊙M與x軸、直線AB都相切，其半徑為3（1﹣）a．

（1）求點A的坐標和∠ABO的度數；
（2）當點C與點A重合時，求a的值；
（3）點C移動多少秒時，等邊△CDE的邊CE第一次與⊙M相切？

Answer 1

（1）A的坐標是（0，1），∠ABO=30°；（2）﹣3；（3）4秒

試題分析：（1）已知直線AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A點坐標；令y=0，能得到B點坐標；在Rt△OAB中，知道OA、OB的長，用正切函數即可得到∠ABO的讀數．
（2）當C、A重合時，就告訴了點C的坐標，然后結合OC的長以及等邊三角形的特性求出OD、OE的長，即可得到D、E的坐標，利用待定系數即可確定a的值．
（3）此題需要結合圖形來解，首先畫出第一次相切時的示意圖（詳見解答圖）；已知的條件只有圓的半徑，那么先連接圓心與三個切點以及點E，首先能判斷出四邊形CPMN是正方形，那么CP與⊙M的半徑相等，只要再求出PE就能進一步求得C點坐標；那么可以從PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得這兩個角的度數，通過解直角三角形不難得到PE的長，即可求出PE及點C、E的坐標．然后利用C、E的坐標確定a的值，進而可求出AC的長，由此得解．
（1）當x=0時，y=1；當y=0時，x=-，
∴OA=1，OB=，

∴A的坐標是（0，1）
∠ABO=30°．
（2）∵△CDE為等邊△，點A（0，1），

∴D的坐標是（，0），E的坐標是（，0），
把點A（0，1），D（，0），E（，0），代入 y=a（x-m）²+n，
解得：a=-3．
（3）如圖，設切點分別是Q，N，P，連接MQ，MN，MP，ME，過點C作CH⊥x軸，H為垂足，過A作AF⊥CH，F為垂足．

∵△CDE是等邊三角形，∠ABO=30°
∴∠BCE=90°，∠ECN=90°
∵CE，AB分別與⊙M相切，∴∠MPC=∠CNM=90°，∴四邊形MPCN為矩形，∵MP=MN
∴四邊形MPCN為正方形
∴MP=MN=CP=CN=3（1-）a（a＜0）．
∵EC和x軸都與⊙M相切，∴EP=EQ．
∵∠NBQ+∠NMQ=180°，∴∠PMQ=60°
∴∠EMQ=30°，∴在Rt△MEP中，tan30°=，∴PE=（-3）a
∴CE=CP+PE=3（1-）a+（-3）a=-2a
∴DH=HE=-a，CH=-3a，BH=-3a，
∴OH=-3a-，OE=-4a-
∴E（-4a-，0）
∴C（-3a-，-3a）
設二次函數的解析式為：y=a（x+3a+）²-3a
∵E在該拋物線上
∴a（-4a-+3a+）²-3a=0
得：a²=1，解之得a₁=1，a₂=-1
∵a＜0，∴a=-1
∴AF=2，CF=2，∴AC=4
∴點C移動到4秒時，等邊△CDE的邊CE第一次與⊙M相切．
點評：本題難度在于涉及到動點問題，許多數值都不是具體值；（3）題中，正確畫出草圖、貫徹數形結合的解題思想是關鍵．