Question

【題目】如圖，內接于⊙，是⊙的直徑，弦交于點，延長到點，連接，，使得，.

（1）求證：是⊙的切線；（2）若⊙的半徑為，，求、的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），.

【解析】

（1）由BC是⊙O的直徑，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代換得到∠D+∠AOD=90°，于是得到結論；

（2）連接BF，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論．

（1）∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAF+∠FAC=90°，

∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，

∴∠D+∠AOD=90°，

∴∠OAD=90°，

∴AD是⊙O的切線；

（2）連接BF，

∵∠FAC=∠AOD，

∴△ACE∽△OCA，

∴，

∴，

∴AC=AE=，

∵∠CAE=∠CBF，

∴△ACE∽△BFE，

∴，

∴，

∴．