Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點的坐標是，為拋物線上的一個動點，過點作軸于點，交直線于點，拋物線的對稱軸是直線.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點在第二象限內，且，求的面積．

（3）在（2）的條件下，若為直線上一點，在軸的下方，是否存在點，使是以為腰的等腰三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

(1)由拋物線的對稱性結合點A的坐標可得點，由此可設函數的表達式為：，繼而根據點C的坐標即可求解；

(2)先求出BC的解析式，設點，則OD=-x，點，點，表示出PE的長，繼而根據可得關于x的方程，解方程求得x的值后進而可求得PE、BD的長，然后利用三角形面積公式進行計算即可；

(3)根據題意，在x軸下方，是以為腰的等腰三角形，只存在：的情況，由此可得BM=BD=1，求出的值，繼而設M的坐標為(xM，yM)，利用解直角三角形的知識即可求得，進而求出，由此即可得.

(1)點的坐標是，拋物線的對稱軸是直線，則點，

所以設函數的表達式為：，

將點C(0，-2)代入得：，解得：，

故拋物線的表達式為：；

(2)設直線BC的解析式為y=mx+n，

將點(-4，0)、(0，-2)分別代入得，

解得：，

所以直線的表達式為：，

設點，則OD=-x，點，點，

∴PE=，

∵，

∴=，

解得：或x=-5(舍去)，

∴點，

∴PE=，BD=-4-(-5)=1，

∴；

(3)由題意得：在x軸下方，是以為腰的等腰三角形，只存在：的情況，

∴BM=BD=1，

∵(-4，0)、(0，-2)，

∴OB=4，OC=2，

∵∠BOC=90°，∴BC==，

∴ ，

設M的坐標為(xM，yM)，

則，

則，

故點.