Question

15．設S₁=1+$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$，S₂=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$，S₃=1+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$，…，S_n=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，求$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$+…+$\sqrt{{S}_{{\;}_{n}}}$的值（用含n的代數式表示，其中n為正整數）

Answer 1

分析 計算出S₁，S₂，S₃，以此類推得到S_n，代入原式利用平方根定義化簡，再利用拆項法變形，計算即可得到結果．

解答 解：∵S₁=1+$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{9}{4}$=（$\frac{3}{2}$）²，
S₂=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$=$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{49}{36}$=（$\frac{7}{6}$）²，
S₃=1+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$=1+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{16}$=$\frac{169}{144}$=（$\frac{13}{12}$）²，
…，
S_n=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=（$\frac{{n}^{2}+n+1}{n（n+1）}$）²，
∴原式=$\frac{3}{2}$+$\frac{7}{6}$+$\frac{13}{12}$+…+$\frac{{n}^{2}+n+1}{n（n+1）}$
=1+$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{6}$+1+$\frac{1}{12}$+…+1+$\frac{1}{n（n+1）}$
=n+（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$）
=n+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=n+1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{（n+1）^{2}-1}{n+1}$
=$\frac{{n}^{2}+2n}{n+1}$．

點評 此題考查了實數的運算，拆項法的運用，以及規律型：數字的變化類，弄清題中的規律是解本題的關鍵．