Question

6．如圖：在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O順時針方向旋轉，若∠BOA的兩邊分別與函數y=-$\frac{1}{x}$、y=$\frac{2}{x}$的圖象交于B、A兩點，則tanA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖，作輔助線；首先證明△BOM∽△OAN，得到$\frac{BM}{ON}$=$\frac{OM}{AN}$，設B（-m，$\frac{1}{m}$），A（n，$\frac{2}{n}$），得到BM=$\frac{1}{m}$，AN=$\frac{2}{n}$，OM=m，ON=n，進而得到mn=$\frac{2}{mn}$，mn=$\sqrt{2}$，此為解決問題的關鍵性結論；運用三角函數的定義證明知tan∠OAB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可解決問題．

解答 解：如圖，分別過點A、B作AN⊥x軸、BM⊥x軸；

∵∠AOB=90°，
∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°，
∴∠BOM=∠OAN，
∵∠BMO=∠ANO=90°，
∴△BOM∽△OAN，
∴$\frac{BM}{ON}$=$\frac{OM}{AN}$；
設B（-m，$\frac{1}{m}$），A（n，$\frac{2}{n}$），
則BM=$\frac{1}{m}$，AN=$\frac{2}{n}$，OM=m，ON=n，
∴mn=$\frac{2}{mn}$，mn=$\sqrt{2}$；
∵∠AOB=90°，
∴tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$①；
∵△BOM∽△OAN，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{BM}{ON}$=$\frac{1}{mn}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$②，
由①②知tan∠OAB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、相似三角形的判定等知識點及其應用問題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關鍵是靈活運用相似三角形的判定等知識點來分析、判斷、推理或解答．