Question

【題目】已知中，．

（1）如圖1，在中，若，且，求證：；

（2）如圖2，在中，若，且垂直平分，，，求的長；

（3）如圖3，在中，當垂直平分于，且時，試探究，，之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5；（3）CD2=BD2+4AH2，證明見解析；

【解析】

（1）求出∠DAC=∠BAE，再利用“邊角邊”證明△ACD和△ABE全等，再根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）連接BE，先求出△ADE是等邊三角形，再根據全等三角形對應邊相等可得BE=CD，全等三角形對應角相等可得∠BEA=∠CDA=30°，然后求出∠BED=90°，再利用勾股定理列式進行計算即可得解；
（3）過B作BF⊥BD，且BF=AE，連接DF，先求出四邊形ABFE是平行四邊形，根據平行四邊形對邊相等可得AB=EF，設∠AEF=x，∠AED=y，根據平行四邊形的鄰角互補與等腰三角形的性質求出∠CAD，從而得到∠CAD=∠FED，然后利用“邊角邊”證明△ACD和△EFD全等，根據全等三角形對應邊相等可得CD=DF，然后利用勾股定理列式計算即可得解．

（1）如圖1，證明：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+∠CAE，
即∠DAC=∠BAE．
在△ACD與△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD=BE；
（2）如圖2，連接BE，
∵CD垂直平分AE
∴AD=DE，
∵∠DAE=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴∠CDA=∠ADE=×60°=30°，
∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=4，∠BEA=∠CDA=30°，
∴BE⊥DE，DE=AD=3，
∴BD=5；

（3）如圖3，過B作BF⊥BD，且BF=AE，連接DF，
則四邊形ABFE是平行四邊形，
∴AB=EF，
設∠AEF=x，∠AED=y，
則∠FED=x+y，
∠BAE=180°-x，∠EAD=∠AED=y，∠BAC=2∠ADB=180°-2y，
∠CAD=360°-∠BAC-∠BAE-∠EAD=360°-（180°-2y）-（180°-x）-y=x+y，
∴∠FED=∠CAD，
在△ACD和△EFD中，
，
∴△ACD≌△EFD（SAS），
∴CD=DF，
而BD2+BF2=DF2，
∴CD2=BD2+4AH2．