Question

【題目】如圖1，在中，是直角，，、分別是、的平分線，、相交于點．

　　　　　

（1）求出的度數；

（2）判斷與之間的數量關系并說明理由．（提示：在上截取，連接．）

（3）如圖2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它條件不變，試判斷線段、與之間的數量關系并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE與FD之間的數量關系為：DF＝EF．理由見解析；（3）AC＝AE+CD．理由見解析．

【解析】

（1）根據三角形的內角和性質只要求出∠FAC，∠ACF即可解決問題;
（2）根據在圖2的AC上截取CG=CD，證得△CFG≌△CFD(SAS),得出DF=GF；再根據ASA證明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；
（3）根據(2)的證明方法，在圖3的AC上截取AG=AE，證得△EAF≌△GAF(SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根據ASA證明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解決問題．

（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，

∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，

∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，

∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，

∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°

（2）解：FE與FD之間的數量關系為：DF＝EF．

理由：如圖2，在AC上截取CG＝CD，

∵CE是∠BCA的平分線，

∴∠DCF＝∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG

由（1）∠AFC＝120°得，

∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，

∴∠AFG＝60°，

又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，

∴∠AFE＝∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

，

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF＝GF，

∴DF＝EF；

（3）結論：AC＝AE+CD．

理由：如圖3，在AC上截取AG＝AE，

同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），

∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE

∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°

∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-×120°=120°，

∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，

∴∠CFG＝∠CFD＝60°，

同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），

∴CD＝CG，

∴AC＝AG+CG＝AE+CD．