Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，中心為點C正方形的各邊分別與兩坐標軸平行，若點P是與C不重合的點，點P關于正方形的仿射點Q的定義如下：設射線CP交正方形的邊于點M，若射線CP上存在一點Q，滿足CP+CQ＝2CM，則稱Q為點P關于正方形的仿射點如圖為點P關于正方形的仿射點Q的示意圖．

特別地，當點P與中心C重合時，規定CP＝0．

（1）當正方形的中心為原點O，邊長為2時．

①分別判斷點F（2，0），G（，），H（3，3）關于該正方形的仿射點是否存在？若存在，直接寫出其仿射點的坐標；

②若點P在直線y＝﹣x+3上，且點P關于該正方形的仿射點Q存在，求點P的橫坐標的取值范圍；

（2）若正方形的中心C在x軸上，邊長為2，直線y＝與x軸、y軸分別交于點A，B，若線段AB上存在點P，使得點P關于該正方形的仿射點Q在正方形的內部，直接寫出正方形的中心C的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①點 F 的仿射點坐標為（0，0），點 G 的仿射點坐標為（﹣，），②點 P 在直線 y=﹣x+3 上，且點 P 關于該正方形的仿射點 Q 存在，點 P 的橫坐標的取值范圍1≤x≤2；（2）滿足條件的正方形的中心 C 的橫坐標的取值范圍為 4﹣2≤x≤5﹣ 或 7﹣≤x≤8．

【解析】

（1）①根據點P關于正方形的仿射點的定義可知：當點在正方形ABCD（邊長為4、中心為原點O）的內部時（包括正方形的邊上）有仿射點，觀察圖象可知，點F，點G有仿射點，根據定義即可解決問題；
②如圖2中，直線y=-x+3交CD于K（1，2），交BC于H（2，1），觀察圖象即可判斷；
（2）如圖3中，由題意A（0，2），B（6，0）．求出四個特殊位置的點C的坐標即可判斷；

（1）①如圖 1 中，

根據點P 關于正方形的仿射點的定義可知：當點在正方形 ABCD（邊長為 4 中心為原點 O）的內部時（包括正方形的邊上），有仿射點，

觀察圖象可知，點 F，點 G 有仿射點，

點 F 的仿射點坐標為（0，0），點 G 的仿射點坐標為（﹣ ， ）．

②如圖 2 中，

如圖直線 y=﹣x+3 交 CD 于 K（1，2），交 BC 于 H（2，1），

∴點 P 在直線 y=﹣x+3 上，且點 P 關于該正方形的仿射點 Q 存在，點 P 的橫坐標的取值范圍為 1≤x≤2；

（2）如圖 3 中，由題意 A（0，2），B（6，0）．

由（1）可知當邊長為 4 的正方形的頂點 D 在線段 AB 上時，DE=2，

∵DE∥OA，

∴，

∴，

∴EB=2，OE=6﹣2 ，

∴OC1=6﹣2﹣2=4﹣2，

∴C1（4﹣2）

當邊長為 2 的頂點在線段 AB 上時，C2（5﹣，0），C3（7﹣），當邊長為 4 的正方形的邊經過點 B 時，可得 C4（8，0），

觀察圖象可知：滿足條件的正方形的中心 C 的橫坐標的取值范圍為 4﹣2≤x≤5﹣ 或 7﹣≤x≤8．