Question

【題目】如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B =∠E=30°．

（1）操作發(fā)現(xiàn)

如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：

線段DE與AC的位置關(guān)系是 ；

設(shè)△BDC的面積為，△AEC的面積為，則與的數(shù)量關(guān)系是 ．

（2）猜想論證

當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高DM和AN，請(qǐng)你證明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，點(diǎn)D是其角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，DE∥AB交BC于點(diǎn)E（如圖4）．若在射線BA上存在點(diǎn)F，使，請(qǐng)求出相應(yīng)的BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）； ．（2）證明見解析；（3）BF=或．

【解析】（1）； ．

（2）證明： ， ．

又， ．

又， ，

． ．

又， ．

（3）如圖，延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)P，

則有

∠ABD=30°，PD=2，由BD=CD=4可得∠BCD=30°，

∴∠BPD=90°，BP=，

同理可求DE=BE=，故，

當(dāng)時(shí)， ，∴，

∴，即BF=或．