Question

【題目】如圖，是正內一點，，，，將線段以點為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段，連接，下列結論：①可以由繞點逆時針旋轉60°得到：②點與的距離為4；③；④四邊形；⑤．其中正確的結論是（ ）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】

證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′＝60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，故結論①正確；

由△OBO′是等邊三角形，可知結論②正確；

在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數，故△AOO′是直角三角形；進而求得∠AOB＝150°，故結論③正確；

，故結論④正確；

如圖②，將△AOB繞點A逆時針旋轉60°，使得AB與AC重合，點O旋轉至O″點．利用旋轉變換構造等邊三角形與直角三角形，將S△AOC+S△AOB轉化為S△COO″+S△AOO″，計算可得結論⑤正確．

解：由題意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，

又∵OB＝O′B，AB＝BC，

∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，

∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，

故結論①正確；

如圖①，連接OO′，

∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，

∴△OBO′是等邊三角形，

∴OO′＝OB＝4．

故結論②正確；

∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．

在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，

∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，

故結論③正確；

，

故結論④正確；

如圖②所示，將△AOB繞點A逆時針旋轉60°，使得AB與AC重合，點O旋轉至O″點．

易知△AOO″是邊長為3的等邊三角形，△COO″是邊長為3、4、5的直角三角形，

則，

故結論⑤正確．

綜上所述，正確的結論為：①②③④⑤．

故選：D．