Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC，點D在直線BC上，連接AD，作∠ADN=60°，直線DN交射線AB于點E，過點C作CF∥AB交直線DN于點F.

（1）當點D在線段BC上，∠NDB為銳角時，如圖①.

①判斷∠1與∠2的大小關系，并說明理由；

②過點F作FM∥BC交射線AB于點M，求證：CF+BE=CD；

（2）①當點D在線段BC的延長線上，∠NDB為銳角時，如圖②，請直接寫出線段CF，BE，CD之間的數量關系；

②當點D在線段CB的延長線上，∠NDB為鈍角或直角時，如圖③，請直接寫出線段CF，BE，CD之間的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）①∠1=∠2，理由見解析，②證明見解析；（2）①BE=CD+CF，②CF=CD+BE．

【解析】

（1）①由等邊三角形的性質和∠ADN=60°，易得∠1+∠ADC=120°，∠2+∠ADC=120°，所以∠1=∠2；

②由條件易得四邊形BCFM為平行四邊形，得到BM=CF，BC=MF，再證明△MEF≌△CDA，得到ME=CD，利用等量代換即可得證；

（2）①過F作FH∥BC，易得四邊形BCFH為平行四邊形，可得HF=BC，BH=CF，然后證明△EFH≌△DAC，得到CD=EH，利用等量代換即可得BE=CD+CF；

②過E作EG∥BC，易得四邊形BCGE為平行四邊形，可得EG=BC，BE=CG，然后證明△EFG≌△ADC，得到CD=FG，利用等量代換即可得CF=CD+BE．

（1）①∠1=∠2，理由如下：

∵△ABC為等邊三角形

∴∠ACB=60°

∴∠2+∠ADC=120°

又∵∠AND=60°

∴∠1+∠ADC=120°

∴∠1=∠2

②∵MF∥BC，CF∥BM

∴四邊形BCFM為平行四邊形

∴BM=CF，BC=MF=AC，

∵BC∥MF

∴∠1=∠EFM=∠2，∠EMF=∠ABC=60°

在△MEF和△CDA中，

∵∠EFM=∠2，MF= AC，∠EMF=∠ACD=60°

∴△MEF≌△CDA（ASA）

∴ME=CD

∴ME=BM+BE=CF+BE=CD

即CF+BE=CD

（2）①BE=CD+CF，證明如下：

如圖，過F作FH∥BC，

∵CF∥BH，FH∥BC，

∴四邊形BCFH為平行四邊形

∴HF=BC=AC，BH=CF

∵△ABC為等邊三角形

∴∠ABC=∠ACB=60°

∴∠CAD+∠ADC=60°，∠DBE=120°，∠ACD=120°

又∵∠AND=60°，即∠BDN+∠ADC=60°

∴∠CAD=∠BDN

∵BD∥HF

∴∠HFE=∠BDN=∠CAD，∠EHF=∠ACD=120°

在△EFH和△DAC中，

∵∠EHF=∠ACD，HF=AC，∠HFE=∠CAD

∴△EFH≌△DAC（ASA）

∴EH=CD

∴BE=BH+EH=CF+CD

即BE=CD+CF；

②CF=CD+BE，證明如下：

如圖所示，過E作EG∥BC，

∵EG∥BC，CG∥BE

∴四邊形BCGE為平行四邊形，

∴EG=BC=AC，BE=CG，

∵∠AND=60°，∠ACD=60°

∴∠ADC+∠CDE=120°，∠ADC+∠DAC=120°

∴∠CDE=∠DAC

又∵CD∥EG

∴∠GEF=∠CDE=∠DAC，∠EGF=∠DCF

∵AE∥CF

∴∠DCF=∠ABC=60°

∴∠EGF=∠ABC=60°

在△EFG和△ADC中，

∵∠GEF=∠DAC，EG=AC，∠EGF=∠ACD=60°

∴△EFG≌△ADC（ASA）

∴FG=CD

∴CF=CG+FG=BE+CD

即CF=CD+BE