Question

【題目】若一個四位自然數n滿足千位與個位相同，百位與十位相同，我們稱這個數為“天平數”．將“天平數”n的前兩位與后兩位交換位置得到一個新的“天平數”n′，記F（n）=，例如n=2112，n′=1221，F（2112）==9

（1）計算F（5335）=　 　；若“天平數”n滿足F（n）是一個完全平方數，求F（n）的值；

（2）s、t“天平數“，其中s=，t=（1≤b＜a≤9，1≤x＜y≤9且a，b， xy為整數），若F（s）能被8整除，且F（s）+F（t）﹣9（y+1）=0，規定：K（s，t）=，求K（s，t）的所有結果的值．

Answer 1

【答案】（1）18，F（n）=0或9或36；（2）或或．

【解析】

(1)根據天平數的定義即可解答.

(2)根據（1）的方法分別求出a,b,x,y的值即可進行解答.

解：（1）根據“天平數”的意義得，5335的“天平數”為3553，

∴F（5335）==18，

故答案為：18，

設n為，（0＜c≤9，0＜d≤9），則它的“天平數”n'為，

∴n=1000c+100d+10d+c=1001c+110d，

n'=1000d+100c+10c+d=1001d+110c，

∴n﹣n'=1001c+110d﹣（1001d+110c）=891（c﹣d），

∴F（n）===9（c﹣d），

∵F（n）是一個完全平方數，

∴（c﹣d）是一個完全平方數，

∵0＜c≤9，0＜d≤9，

∴0≤c﹣d＜9，

∴c﹣d=0或1或4，

∴F（n）=0或9或36；

（2）同（1）的方法得，F（s）=9（a﹣b），0≤a﹣b≤9，

∵F（s）能被8整除，

∴a﹣b=8，

∴F（s）=72，a=b+8，

同（1）的方法得，F（t）=9（x﹣y），

∵F（s）+F（t）﹣9（y+1）=0，

∴72+9（x﹣y）﹣9（y+1）=0，

∴x=2y﹣7，

∵1≤x＜y≤9，

∴x=1，y=4或x=3，y=5或x=5，y=6，

∴K（s，t）======或或．