Question

【題目】如圖，直線y=x-3與坐標軸交于A、B兩點，拋物線經過點B，與直線y=x-3交于點E（8，5），且與x軸交于C，D兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上有一點M，當∠MBE=75°時，求點M的橫坐標；

（3）點P在拋物線上，在坐標平面內是否存在點Q，使得以點P，Q，B，C為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在矩形，

【解析】

（1）直線y=x-3與坐標軸交于A、B兩點，則A（3，0）B（0，-3），把B、E點坐標代入二次函數方程，解得：拋物線的解析式y=x2-x-3…①；
（2）當∠MBE=75°時，如下圖所示，分M在x軸上和x軸下分別求解即可；
（3）存在①當BC為矩形對角線時，矩形BP′CQ′所在的位置如圖所示，設：P′（m，n），n=-m2-m-3…③，
P′C所在直線的k1=，P′B所在的直線k2=，則：k1k2=-1即可求解，②當BC為矩形一邊時，矩形BCQP所在的位置如圖所示，直線BC所在的方程為：y=-x-3，則：直線BP的k為-2，所在的方程為y=-2x-3…⑤，
聯立①⑤解得點P（-4，5），則Q（2，8），即可求解．

：（1）直線y=x-3與坐標軸交于A、B兩點，
則A（3，0）B（0，-3），
把B、E點坐標代入二次函數方程，解得：
拋物線的解析式y=x2-x-3…①，
則：C（6，0）；
（2）符合條件的有M和M′，如下圖所示，

當∠MBE=75°時，
∵OA=OB，∴∠MBO=30°，
此時符合條件的M只有如圖所示的一個點，
MB直線的k為-，所在的直線方程為：y=-x-3…②，
聯立方程①、②可求得：x=4-4，
即：點M的橫坐標4-4；
當∠M′BE=75°時，∠OBM′=120°，
直線MB的k值為-，其方程為y=-x-3，
將MB所在的方程與拋物線表達式聯立，
解得：x=，
故：即：點M的橫坐標4-4或．
（3）存在．

①當BC為矩形對角線時，矩形BP′CQ′所在的位置如圖所示，
設：P′（m，n），
n=-m2-m-3…③，
P′C所在直線的k1=，
P′B所在的直線k2=，則：k1k2=-1…④，
③、④聯立解得：m=2，則P′（2，3-2），
則Q′（6-2，2-3）；
②當BC為矩形一邊時，
情況一：矩形BCQP所在的位置如圖所示，
直線BC所在的方程為：y=x-3，
則：直線BP的k為-2，所在的方程為y=-2x-3…⑤，
聯立①⑤解得點P（-4，5），
則Q（2，8），
情況二：矩形BCP″Q″所在的位置如圖所示，
此時，P″在拋物線上，其指標為：（-10，32）．．
故：存在矩形，點Q的坐標為：（6-2，2-3）或（2，8）或（-10，32）．