Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=1，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中A（-1，0）、C（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的頂點為P，將△BOC繞著它的頂點B順時針在第一象限內旋轉，旋轉的角度為α，旋轉后的圖形為△BO′C′．
①當O′C′∥CP時，求α的大小；
②△BOC在第一象限內旋轉的過程中，當旋轉后的△BO′C′有一邊與BP重合時，求△BO′C′不在BP上的頂點的坐標．

Answer 1

（1）由題意得

- b 2a =1 a-b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

．
所以，此拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）①如圖，
頂點P為（1，4），CP=

12+12

=

2

，BC=

32+32

=3

2

，
BP=

22+42

=2

5

，
又因為CP²+BC²=PB²，
所以∠PCB=90°．
又因為O′C′∥CP，
所以O′C′⊥BC，
所以點O′在BC上，
所以α=45°．
②如備用圖1，
當BC′與BP重合時，過點O′作O′D⊥OB于D．
因為∠PBC+∠CBO′=∠CBO′+∠ABO′=45°，
所以∠ABO′=∠PBC．
則△DBO′∽△CBP，
所以

BD

BC

=

O′D

PC

，
所以

BD

3 2

=

O′D

2

，
所以BD=3O′D．
設O′D=x，則BD=3x，根據勾股定理，得x²+（3x）²=3²，
解得x=

3

10

10

，
所以BD=

9

10

10

，
所以點O′的坐標為（3-

9

10

10

，

3

10

10

）．
如備用圖2，
當BO′與BP重合時，過點B作x軸的垂線BE，過點C′作C′E⊥BE于E，
因為∠PBE+∠EBC′=∠PBE+∠CBP=45°，
所以∠EBC′=∠PBC．
所以△EBC′∽△CBP，
所以

BE

BC

=

C′E

PC

，
所以

BE

3 2

=

C′E

2

，
所以BE=3C′E．
設C′E為y，則BE=3y，根據勾股定理，
得y2+(3y)2=(3

2

)2，
解得y=

3

5

5

，
所以BE=

9

5

5

，
所以C′的坐標為（3+

3

5

5

，

9

5

5

）．