Question

【題目】如圖①，將直角梯形放在平面直角坐標系中，已知，點在上，且，連結．

（1）求證：；

（2）如圖②，過點作軸于，點在直線上運動，連結和．

①當的周長最短時，求點的坐標；

②如果點在軸上方，且滿足，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②或8

【解析】

（1）先由已知條件及勾股定理求出AE=4，AB=，得到，又∠OAB=∠BAE，根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似證明△OAB∽△BAE，得出∠AOB=∠ABE，再由兩直線平行，內錯角相等得出∠OBC=∠AOB，從而證明∠OBC=∠ABE；

（2）①由于CE為定長，所以當PC+PE最短時，△PCE的周長最短，而E與A關于BD對稱，故連接AC，交BD于P，即當點C、P、A三點共線時，△PCE的周長最短．由PD∥OC，得出，求出PD的值，從而得到點P的坐標；

②由于點P在x軸上方，BD=4，所以分兩種情況：0＜PD≤4與PD＞4．設PD=t，先用含t的代數式分別表示S△CEP與S△ABP，再根據S△CEP：S△ABP=2：1，即可求出DP的長．

解：（1）由題意可得：

∵OC=4，BC=3，∠OCB=90°，

∴OB=5．

∵OA=5，OE=1，

∴AE=4，AB=，

∵，

∴．

∵，

∴，

．

∵，

∴，

∴.

（2）①∵BD⊥x軸，ED=AD=2，

∴E與A關于BD對稱，

當點共線時，的周長最短．

∵，

∴，即

∴

∴．

②設，

當時，如圖：

∵梯，

；

又∵．

∴，

∴；

當時，如圖：

∵，，

∴

．

．

∴所求DP的長為或8.