Question

【題目】如圖,在△ABC中.AC=BC=5.AB=6.CD是AB邊中線.點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2.5個單位長度的速度沿C-D-C運(yùn)動.在點(diǎn)P出發(fā)的同時，點(diǎn)Q也從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊CA向點(diǎn)A運(yùn)動.當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一個點(diǎn)也隨之停止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒.

（1）用含t的代數(shù)式表示CP、CQ的長度.

（2）用含t的代數(shù)式表示△CPQ的面積.

（3）當(dāng)△CPQ與△CAD相似時，直接寫出t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)0＜t≤時，CP=2.5t，CQ=2t；當(dāng)時，CP=8-2.5t，CQ=2t．

（2）當(dāng)0＜t≤時，S△CPQ=PCsin∠ACDCQ=×2.5t××2t=；當(dāng)時，S△CPQ=PCsin∠ACDCQ=×（8-2.5t）××2t=.

（3）0＜t≤或s

【解析】

（1）分兩種情形：當(dāng)0＜t≤時，當(dāng)＜t時，分別求解即可．

（2）分兩種情形：當(dāng)0＜t≤時，當(dāng)＜t≤時，根據(jù)S△CPQ=PCsin∠ACDCQ分別求解即可．

（3）分兩種情形：當(dāng)0＜t≤，可以證明△QCP∽△DCA，當(dāng)＜t，∠QPC=90°時，△QPC∽△ADC，構(gòu)建方程求解即可．

解：（1）∵CA=CB，AD=BD=3，

∴CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴CD===4，

當(dāng)0＜t≤時，CP=2.5t，CQ=2t，

當(dāng)時，CP=8-2.5t，CQ=2t．

（2）∵sin∠ACD==，

∴當(dāng)0＜t≤時，S△CPQ=PCsin∠ACDCQ=×2.5t××2t=

當(dāng)時，S△CPQ=PCsin∠ACDCQ=×（8-2.5t）××2t=.

（3）①當(dāng)0＜t≤時，

∵CP=2.5t，CQ=2t，

∴=，

∵=，

∴，

∵∠PCQ=∠ACD，

∴△QCP∽△DCA，

∴0＜t≤時，△QCP∽△DCA，

②當(dāng)時，當(dāng)∠QPC=90°時，△QPC∽△ADC，

∴，

∴，

解得：，

綜上所述，滿足條件的t的值為：0＜t≤或s時，△QCP∽△DCA．