Question

【題目】如圖，在直角坐標平面xOy內，點A（6，0）、C（﹣4，0），過點A作直線AB，交y軸的正半軸于點B，且AB＝10，點P是直線AB上的一個動點．

（1）求點B的坐標和直線AB的表達式；

（2）若以A、P、C為頂點的三角形與△AOB相似，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）直線AB的表達式為y＝﹣x+8；（2）點P的坐標為（﹣4，）或（，）．

【解析】

（1）由點A的坐標可得出OA的長，利用勾股定理可求出OB的長，結合點B在y軸正半軸上即可得出點B的坐標，由點A，B的坐標，再利用待定系數法即可求出直線AB的解析式；

（2）分△AOB∽△ACP和△AOB∽△APC兩種情況考慮：①當△AOB∽△ACP時，∠ACP1＝∠AOB＝90°，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點P1的坐標；②當△AOB∽△APC時，設點P2的坐標為（m，﹣m+8），利用相似三角形的性質可求出CP2的長，結合點C的坐標可得出關于m的方程，解之即可得出點P2的坐標．綜上，此題得解．

解：（1）∵點A的坐標為（6，0），

∴OA＝6，

∴OB＝＝8．

∵點B在y軸的正半軸，

∴點B的坐標為（0，8）．

設直線AB的表達式為y＝kx+b（k≠0），

將A（6，0），B（0，8）代入y＝kx+b，得：，

解得：，

∴直線AB的表達式為y＝﹣x+8．

（2）分兩種情況考慮，如圖所示．

①當△AOB∽△ACP時，∠ACP1＝∠AOB＝90°，

當x＝﹣4時，y＝﹣x+8＝，

∴點P1的坐標為（﹣4，）；

②當△AOB∽△APC時，設點P2的坐標為（m，﹣m+8）．

∵點A的坐標為（6，0），點C的坐標為（﹣4，0），

∴AC＝10．

∵△AOB∽△AP2C，

∴＝，即＝，

∴CP2＝8，

∴＝8，

整理，得：（m﹣4）2＝0，

解得：m＝，

∴點P2的坐標為（，）．

綜上所述：點P的坐標為（﹣4，）或（，）．