Question

如圖1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG．
（1）試猜想線段BG和AE的數量關系是           ；
（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉α（0°＜α≤360°），
①判斷（1）中的結論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結論；
②若BC=DE=4，當AE取最大值時，求AF的值．

Answer 1

（1）BG=AE，理由見解析；（2）①成立，理由見解析；②.

試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論.
（2）①如圖2，連接AD，由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論；
②由①可知BG=AE，當BG取得最大值時，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出結論．
試題解析：（1）BG=AE．理由如下：
如圖1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，BD="CD." ∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵四邊形DEFG是正方形，∴DE=DG．
在△ADE和△BDG中，∵DC＝DB，∠ADC＝∠ADB，DE＝DG，∴△ADE≌△BDG（SAS）.∴BG=AE．
（2）①成立．理由如下：
如圖2，連接AD，
∵在Rt△BAC中，D為斜邊BC中點，∴AD=BD，AD⊥BC. ∴∠ADG+∠GDB=90°．        
∵四邊形EFGD為正方形，∴DE=DG，且∠GDE=90°.∴∠ADG+∠ADE=90°.∴∠BDG=∠ADE．
在△BDG和△ADE中，∵BD＝AD，∠BDG＝∠ADE，GD＝ED，∴△BDG≌△ADE（SAS）.∴DG=AE.

②∵BG=AE，
∴當BG取得最大值時，AE取得最大值．
如圖3，當旋轉角為270°時，BG=AE．
∵BC=DE=4，∴BG=2+4=6．∴AE=6．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得.