Question

（1）如圖1，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交與點P，求證：∠P=90°+

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∠A．
（2）如圖2，在上題中，如果CP是∠ACD的平分線，BP是∠ABC的平分線，那么∠P與∠A有什么關系？并證明你的結論．
（3）如圖3在上題中，如果BP、CP分別是∠CBD與∠BCE的平分線，那么∠P與∠A有什么關系？直接寫出關系，不必證明．

Answer 1

（1）證明：∵∠ABC與∠ACB的平分線交與點P，
∴∠PBC+∠PCB=

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（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠P=180°-

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2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

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2

∠A；

（2）證明：∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線，
∴∠PBC=

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∠ABC，∠PCD=

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∠ACD，
根據三角形的外角性質，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠PCD=∠PBC+∠P，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠PBC+∠P）=2∠PBC+2∠P，
∴∠BAC=2∠P，
∴∠P=

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∠BAC，即∠P=

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∠A；

（3）BP、CP為△ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線，∠A為x°
∴∠BCP=

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（∠A+∠ABC）、∠PBC=

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（∠A+∠ACB），
由三角形內角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，
=180°-

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[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-

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（∠A+180°），
=90°-

1

2

∠A，即∠P=90°-

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∠A．