Question

20．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N．
（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時（如圖1），易證MN=BM+DN．
（2）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時（如圖2），線段BM，DN和MN之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明．
（3）當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）連接AC，交MN于點G，則可知AC垂直平分MN，結合∠MAN=45°，可證明△ABM≌△AGM，可得到BM=MG，同理可得到NG=DN，可得出結論；
（2）在MB的延長線上，截取BE=DN，連接AE，則可證明△ABE≌△ADN，可得到AE=AN，進一步可證明△AEM≌△ANM，可得結論BM+DN=MN；
（3）在DC上截取DF=BM，連接AF，可先證明△ABM≌△ADF，進一步可證明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，從而可得到DN-BM=MN

解答 解：（1）如圖1，連接AC，交MN于點G，

∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC=CD，且BM=DN，
∴CM=CN，且AC平分∠BCD，
∴AC⊥MN，且MG=GN，
∴∠MAG=∠NAG，
∵∠BAC=∠MAN=45°，即∠BAM+∠GAM=∠GAM+∠GAN，
∴∠BAM=∠GAN=∠GAM，
在△ABM和△AGM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠AGM=90°}\\{∠BAM=∠GAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△AGM（AAS），
∴BM=MG，同理可得GN=DN，
∴BM+DN=MG+GN=MN，
∴BM+DN=MN；
（2）猜想：BM+DN=MN，
證明如下：
如圖2，在MB的延長線上，截取BE=DN，連接AE，

在△ABE和△ADN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠D}\\{BE=DN}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，
∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠EAB+∠BAM=45°，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AEM和△ANM中$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠EAM=∠NAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
又ME=BE+BM=BM+DN，
∴BM+DN=MN；
（3）DN-BM=MN．
證明如下：
如圖3，在DC上截取DF=BM，連接AF，

△ABM和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABM=∠D}\\{BM=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即MAF=∠BAD=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠MAN=∠FAN=45°，
在△MAN和△FAN中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AF}\\{∠MAN=∠FAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN=NF，
∴MN=DN-DF=DN-BM，
∴DN-BM=MN．

點評 此題為四邊形的綜合題，涉及知識點有正方形的性質、全等三角形的判定和性質、垂直平分線的判定和性質等．在（1）中證得AM=AN是解題的關鍵，在（2）、（3）中構造三角形全等是解題的關鍵．本題考查知識點不多，但三角形全等的構造難度較大．