Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝ax2＋bx＋4的圖象與x軸交于點B(－2，0)、點C(8，0)兩點，與y軸交于點A．

(1)求二次函數的表達式；

(2)連接AC、AB，若點N在線段BC上運動(不與點B、C重合)，過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求N點的坐標；

(3)連接OM，在(2)的結論下，線段AC上有一動點P，連接PM，求PM＋PC的值最小時，點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；(2) N（3，0）； (3) P(1，) ．

【解析】

（1）由B、C的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）可設N（n，0），則可用n表示出△ABN的面積，由NM∥AC，可求得，則可用n表示出△AMN的面積，再利用二次函數的性質可求得其面積最大時n的值，即可求得N點的坐標；

（3）過點PD⊥x軸于點D，點E為M關于AC的對稱點，作EF⊥x軸于點F，則PM＋PC的最小值即為EF的長．求出直線AC的解析式，并證明,再由（2）知，利用中點公式可得E的坐標，再將點E的橫坐標代入直線AC，從而得解．

（1）將點B，點C的坐標分別代入y=ax2+bx+4可得，

解得，

∴二次函數的表達式為y=﹣x2+x+4；

（2）設點N的坐標為（n，0）（﹣2＜n＜8），則BN=n+2，CN=8﹣n．

∵B（﹣2，0），C（8，0），

∴BC=10，

在y=﹣x2+x+4中，令x=0，可解得y=4，

∴點A（0，4），OA=4，

∴S△ABN=BNOA=（n+2）×4=2（n+2），

∵MN∥AC，

∴

∴

∴

∵﹣＜0，

∴當n=3時，即N（3，0）時，△AMN的面積最大；

（3）如圖，過點PD⊥x軸于點D，點E為M關于AC的對稱點，作EF⊥x軸于點F，

,易得，當E、P、D三點共線時，可知PM＋PC的最小值即為EF的長．

由（2）可得M(-1,2),

由A(0,4)，B(-2,0),C(8,0),得直線AC:

在中，，

，

即是直角三角形，且,

∵M,E關于AC對稱，

∴A（0，4）是ME的中點，由中點坐標公式得，

∴點P橫坐標是1，代入，得y=,

則P(1，) ．