Question

8．某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖甲的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖乙表示的拋物線段表示．
（1）寫出圖甲表示的市場售價與時間的函數關系P=f（t）；寫出圖乙表示的種植成本與時間的函數關系式Q=g（t）．
（2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？（注：市場售價和種植成本的單位：元/10²㎏，時間單位：天）

Answer 1

分析 （1）利用已知圖形上點的坐標進而利用待定系數法求出函數解析式；
（2）利用y=f（t）-g（t）進而得出函數關系式，再利用配方法求出最值．

解答 解：（1）當0≤t≤200時，設f（t）=k₁t+b₁（k₁≠0），有：
$\left\{\begin{array}{l}{b_1}=300\\ 200{k_1}+{b_1}=100\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{k_1}=-1\\{b_1}=300\end{array}\right.$
當200＜t≤300時，設f（t）=k₂t+b₂（k₂≠0），
有$\left\{\begin{array}{l}300{k_2}+{b_2}=300\\ 200{k_2}+{b_2}=100\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k_2}=2\\{b_2}=-300\end{array}\right.$．
設拋物線g（t）=a（t-150）²+100，則150=a（250-150）²+100，得$a=\frac{1}{200}$，
故市場售價與時間的函數關系：$f（t）=\left\{\begin{array}{l}-t+300，0≤t≤200\\ 2t-300，\;200＜t≤300\end{array}\right.$，
種植成本與時間的函數關系式：$g（t）=\frac{1}{200}{（t-150）^2}+100$．

（2）由（1），得$y=f（t）-g（t）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{200}{t^2}+\frac{1}{2}t+\frac{175}{2}，0≤t≤200\\-\frac{1}{200}{t^2}+\frac{7}{2}t-\frac{1025}{2}，200＜t≤300\end{array}\right.$，
即$y=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{200}{（{t-50}）^2}+100，0≤t≤200\\-\frac{1}{200}{（{t-350}）^2}+87.5，200＜t≤300\end{array}\right.$，
對0≤t≤200，當t=50時，取最大值為100，
對200＜t≤300，當t=300時，最大值為75，
即從2月1日開始的第50天時，西紅柿純收益最大．

點評 此題主要考查了待定系數法求一次函數以及二次函數解析式以及配方法求函數最值，正確得出y與x的函數關系式是解題關鍵．