Question

（1）方程x²+px+1997=0恰有兩個正整數根x₁，x₂，則

p

(x1+1)(x2+1)

的值是

 

．
（2）已知k為整數，且關于x的方程（k²-1）x²-3（3k-1）x+18=0有兩個不相同的正整數根，則k=

 

．
（3）兩個質數a，b恰好是關于x的方程x²-21x+t=0的兩個根，則

b

a

+

a

b

=

 

．
（4）方程x²+px+q=0的兩個根都是正整數，并且p+q=1992，則方程較大根與較小根的比等于

 

．
（5）已知方程（a²-1）x²-2（5a+1）x+24=0有兩個不相等的負整數根，則整數a的值是

 

．

Answer 1

分析：（1）根據十字相乘法分解原方程的左邊，然后根據質數的定義及根與系數的關系來解答；
（2）與（5）由根的判別式首先大體確定取值，再根據題目要求與根與系數的關系確定取值即可；
（3）根據一元二次方程中根與系數的關系確定a與b的關系式，再由質數的定義確定a與b的取值即可；
（4）根據一元二次方程中根與系數的關系確定關系式，抓住關系式p+q+1=x₁x₂-x₁-x₂+1=（x₁-1）（x₂-1）=1992+1=1993是解題的關鍵，再由質數的性質即可求解．

解答：解：（1）∵方程x²+px+1997=0恰有兩個正整數根，顯然原方程可以化簡為（x-a）（x-b）=0，根據十字相乘ab一定為1997的約數，
又∵1997是質數，
∴a=1，b=1997；
∴p=-1998
∵x₁+x₂=-p，x₁•x₂=1997，
∴

p

(x1+1)(x2+1)

=

p

x1x2+(x1+x2)+1

=

p

1997-p+1

=

p

1998-p

=

-1998

1998-(-1998)

=-

1

2

；
故答案為：-

1

2

．
（2）∵關于x的方程（k²-1）x²-3（3k-1）x+18=0有兩個不相同的根，
∴

△=9×(3k-1)2-4(k2-1)×18＞0 k2-1≠0

，
解得，k≠±1，且k≠3；
∵k為整數，且關于x的方程（k²-1）x²-3（3k-1）x+18=0有兩個不相同的正整數根，
∴設兩根分別為：a與b，
則ab=

18

k2-1

，a+b=

9k-3

k2-1

，ab＞0，a+b＞0，
∴k²-1=3，
∴k=2．
故答案為：2．
（3）∵兩個質數a，b恰好是關于x的方程x²-21x+t=0的兩個根，
∴a+b=21，ab=t，
∵a，b是質數，
∴a=2，b=19或a=19，b=2，
∴

b

a

+

a

b

=

19

2

+

2

19

=

365

38

．
故答案為：

365

38

．
（4）設兩根分別為x₁，x₂，
則x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，
p+q+1=x₁x₂-x₁-x₂+1=（x₁-1）（x₂-1）=1992+1=1993，
∵把1993分解，1993是質數，不能分解，
不妨假設x₁＞x₂，只能是：
x₁-1=1993，x₂-1=1，
x₁=1994，x₂=2，
∴大根比小根為：

1994

2

=997．
故答案為：997．
（5）∵方程（a²-1）x²-2（5a+1）x+24=0有兩個不相等的負整數根，
∴

△=4(5a+1)2-4(a2-1)×24＞0 a2-1≠0

，
解得，a≠±1，且a≠-5；
∵方程（a²-1）x²-2（5a+1）x+24=0有兩個不相等的負整數根，
∴設兩根分別為：a與b，
則ab=

24

a2-1

，a+b=

10a+2

a2-1

，ab＞0，a+b＜0，
∴a²-1=3，
∴a=-2．
故答案為：-2．

點評：此題考查了一元二次方程中根與系數的關系及韋達定理，解題的關鍵是靈活應用關系式與已知條件進行分析求解．