Question

【題目】如圖，直線l1：y＝x+12與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線l2與x軸、y軸分別交于C、B兩點，且AB：BC＝3：4．

（1）求直線l2的解析式，并直接判斷△ABC的形狀（不需說明理由）；

（2）如圖1，P為直線l1上一點，橫坐標為12，Q為直線l2上一動點，當PQ+CQ最小時，將線段PQ沿射線PA方向平移，平移后P、Q的對應點分別為P'、Q'，當OQ'+BQ'最小時，求點Q'的坐標；

Answer 1

【答案】（1），△ABC為直角三角形；（2）Q'（ ）

【解析】

（1）根據l1求出A,B的坐標，再根據AB：BC＝3：4．得出C點坐標，即可求出l2的解析式與△ABC的形狀；（2）由題意知當P、Q、M三點共線，且PM⊥x軸時，PQ+CQ最小，利用直線平移的性質與Q點坐標求出l3的解析式，作點B（0，12）關于l3的對稱點B'，則B'（24，﹣6），連接OB'，與直線l3的交點即為所求點Q'，再聯立l3與直線OB'即可求出Q'的坐標.

解：（1）由l1：y＝x+12得B（0,12），A（-9,0）

∴AB=15，

∵AB：BC＝3：4．

∴BC=20，故C（16,0）

故求得l2：，

∵AB=15，BC=20，AC= 9+16=25，故AB2+BC2=AC2，

∴△ABC為直角三角形．

（2）當P、Q、M三點共線，且PM⊥x軸時，PQ+CQ最小，

∴Q（12，3）

平移過程中，點Q'在直線l3上移動，

∵l3∥l1且l3經過點Q（12，3），

∴l3：

作點B（0，12）關于l3的對稱點B'，則B'（24，﹣6），連接OB'，與直線l3的交點即為所求點Q'，

∵直線OB'：，

∴解得，

∴Q'（）．